[Econ關鍵字] 「理性預期」

談到「經濟學」,大家常常會聽到的一個字眼是「理性(rationality)」。

這篇文章想要談的不是理性本身--這個題目太大了--我想要談的是經濟學家所認定的眾多「理性行為」之中,一個學術上被明確定義、且如今已廣為使用的重要概念:

Rational expectations
理 性 預 期

我覺得這東西很重要,因為我觀察到經濟學時常受人誤解。
市面上有很多作者自以為懂經濟學的報章雜誌文章、甚至是書籍,在散布一些似是而非的論述,並冠之以經濟學的名義,讓我感到憂心(與不爽)。有鑑於此,作為一個鑽研經濟學的研究生,我希望能藉此替自己的部落格灌一些看起來稍有學問的水,希望可以透過一些簡單的文章來或多或少地重新傳播「正確的」經濟學知識給並非直接涉獵此領域的朋友。(遠目)
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「理性預期」的概念,由經濟學家Robert Lucas所提出。他在他1972年發表於Journal of Economic Theory(JET)的論文,"Expectations and the Neutrality of Money",首先大膽地將這個概念化為數學的語言,整合到他的經濟模型之中。當時他的創見在學術界並沒有立刻被接受,甚至還引來不少批評。1995年Robert Lucas獲得諾貝爾經濟學獎,而這篇論文正是促成他得獎的重要成就之一。


「理性預期」可以拆成兩個部分來看,第一是「理性」,第二是「預期」。先來談談後者吧。

預期,就如字面上所言,不多也不少,就是對未來的狀況形成預測的這種行為。這邊貫串全文我要用一個非常簡單的例子來向大家說明。現在有一串數列如下:

1,2,3,4,5,6,...

這些數字依序發生,可以想像每一天實現一個數字,已經過了六天所以我們觀察到六個數字。然後我要問你,對於第七個數字,將它視為尚未發生的「未來」,請問你對它的預期是什麼?白話就是,你第七個數字是多少?

在Lucas之前,經濟學家對於模型中「預期」的處理,主要有兩個辦法:靜態預期(static expectation)與適應性預期(adaptive expectation)。

靜態預期,就是我們對未來的猜測,直接使用我們現在所處的狀況。如果我去年收入是一百萬,我就預期今年也是一百萬。所以如果一個人是靜態預期行為者,那麼上面那串數列它的第七個數字的猜測是:「6」。因為「6」是前一期的結果。

適應性預期,是靜態預期的修正版。它對前一次靜態預期的失誤給予一個權重放入新的預期之中。以上例而言,靜態預期第六期會猜5,但答案是6,所以有預測失誤=1。那麼適應性預期行為者對於第七次的猜測,就是W*6+(1-W)*1,其中W為權數。

那麼「理性預期」呢?我當然可以先告訴各位答案是什麼。答案是「7」。(注意我談的是猜測的答案,不是真正的結果--真正的結果,第七個數字,我們還不知道!)

好。各位覺得上面哪一個是「正確」的?
或者我應該換一種問法:上面哪一個是「最合理的猜測」?
這是一個非常簡單的例子,任何人大概都能從直觀上去認定哪一個猜測最合理。是的,當然是理性預期的猜測最「合理」。但是為什麼?直覺?不,我們不能只談直覺,否則就不夠深入。

人們猜測未來的方法是什麼?
機率論裡,有所謂的「條件機率(conditional probability)」,告訴我們當某事件發生為前提,則另一事件發生之機率是什麼。當我們在作預期的時候,我們通常是在作條件預期(conditional expectation),我們以我們所擁有的資訊為條件,來進行未知狀態的猜測。

當我們覺得猜測「7」最合理,是因為我們觀察到前六期存在一個似乎可信的模式。這個模式成為我們用來形成預期的情報資訊,幫助我們進行猜測。靜態預期,沒有使用到這個情報;適應性預期呢?它沒有完全地使用到這個情報。


什麼是「理性預期」?
這裡先給大家一個較為白話的描述:

理性預期,就是行為人以他所擁有的一切可用資訊,來進行對未來的猜測。


是的,這聽起來似乎沒有任何深刻的學問。
很合理。
很合乎直覺。
但且讓我們來看看它所隱含的數學意義是什麼。

如果將我們所面對的未知狀態,以上例來說是第七個數字,用一個統計學上的隨機變數(random variable)又或者隨機過程(stochastic process)來看待,那麼「理性預期」告訴我們的是什麼?

它告訴我們,行為人知道這個隨機變數的分配
數學上,我們通常可以用動差生成函數(moment-generating function, MGF)來辨認分配的種類。用淺白的語言來說,「平均數」與「變異數」,分別是第一動差與第二中央動差,大部分的人都知道它們是什麼意思。它們就是描述隨機變數分配的一個語言,前者描述分配的期望值,後者描述分配的離散程度。

一個現代文明人至少要具備理解前兩階動差的能力,否則我稱之為笨蛋。如果你是的話,拜託不要承認,趕快偷偷花點時間補一補自己的腦袋再回來嘲笑其他的笨蛋。

為什麼「理性預期」隱含的是行為人知道隨機變數的分配?即使對於一個主修經濟的大學生,我都不敢保證他不會認為我上面那句話是彷彿很跳tone地出現。

理性預期告訴我們,行為人知道未知隨機變數的分配。

這是怎麼一回事?讓我們回到一開始那個123456的例子。你所擁有的全部的資訊是什麼?有1、2、3、4、5、6這些已實現(=發生)的數值。更明確地說,你知道的事情是:第一天出現1,第二天出現2...,第六天出現6。你觀察到什麼東西?第i天出現i,這個模式持續了六次。請問你,作為一個擁有這份資訊的人,會怎麼猜測第七個數字?當然是猜「7」!

如果你跟我說「ㄟ不對喔,常闇這個混帳可能故意引導我猜7,其實是8!」好,如果你這麼想,那就表示你把「常闇這個人的個性」都放入你用來進行預期的資訊集合了,我們晚點再來討論這個情況。先回到方才的,你全部的資訊就是你觀察到的那個模式,那麼你猜「7」就是再合理不過的一件事情。

理性。
這,就是理性。
你理性地進行了預期行為。理性預期。


所以靜態預期或適應性預期都不是理性的行為嗎?答案是,沒錯!它們都不是理性的行為!有趣吧?經濟學家們也曾經將不理性的元素放入他們的經濟模型之中呢!(笑)為什麼它們不是理性的?很簡單,因為這兩種行為人每次預測都會不斷地犯錯,他們犯了一種錯誤叫作「系統性錯誤」。我們設想以下情境:

強者我同學A是靜態預期行為者。
第一天他看到「1」,於是他猜明天也是「1」。
第二天他發現明天搞了半天是「2」,很好,所以他改猜第三天是「2」。
第三天他發現他又猜錯了,是「3」不是「2」。很好,他決定猜第四天是「3」。
第四天,你知道的,他很該死地還是猜錯了。
第五天...
第六...
第...
...

各位看到的是什麼?
他一直犯錯。同樣的錯誤。請問如果你是A,故事進行到第十天好了,你會繼續照靜態預期的方式猜測未來嗎?你,是一個理性的人嗎?是的話就給我一個理性的答案。對,答案是:不會。怎麼可能會!

靜態預期不是理性行為,因為行為人不斷地犯同樣的錯誤卻沒有進行修正。套句我最愛用的話,這種人的預期「完全沒有任何道理可言」。重點不是犯錯,而是不斷地同樣的錯。這不是一個理性的人會有的行為。

適應性預期有一樣的問題。它的修正無法將這種系統系錯誤根除,所以它也不是理性的產物。

理性預期下,行為人不存在系統性錯誤,這就是它與其它兩者(或者各種其它怪異的預期方式)最重要的區隔。



---
接下來的探討,會更深入,更數學,更抽象,但也更接近核心。

首先我們要談一個刺激(?)的議題。我們已經知道上面三種預期,最合理的行為模式應該要遵從理性預期。那麼請問,誰會猜對真正的答案?別忘了我們不知道第七個數字是什麼,我們只知道靜態預期行為者猜「6」,適應性預期行為者猜的可能是一個介於6和7之間的數,而理性預期行為者則猜是「7」。我說服大家認為第三者的猜測是最合理的,那麼他是不是會猜對呢?

答案是,我不知道!
但我知道的是,他平均而言會猜得比另外兩人還要準。

當我說理性預期不存在系統性錯誤,我並沒有說這樣的行為人不會犯錯。既然是預期,就會有失誤。這是隨機環境的本質。你看到前六期分別是1、2、3、4、5、6,所以你跟我說第七期百分之百是7。請問你真的有百分之百的信心嗎?無論你有沒有,很遺憾現實是你還是有猜錯的機會。我們可以考慮以下這個簡單的隨機過程:

Yt = t + Xt
where
Xt ~ i.i.d. Bernoulli(0.1)

Yt是我們關心的序列值,t為時間下標,Xt可以被視為一個序列無相關的隨機干擾,它有10%的機率會是一,90%的機率會是零。這個隨機過程,我們用電腦模擬讓它產生虛擬資料,將會有非常高的機會看到前六期的數據是1、2、3、4、5、6,然而第七期是「7」的機率有多少?百分之九十。你甚至可以去算算看我們觀察到前六期的數據是1、2、3、4、5、6的機率,很容易算,答案是0.9的六次方。

前面我說過有人可能會考慮到常闇耍詐對吧?那不如就想像成常闇每期都有百分之十的機率突然把原本應該實現的數字加一如何?你可以想更複雜,無論如何我們都能用數學來描述、明確定義一個隨機環境。


理性預期是經濟學家的「假設」。在現行非常多總體、個體經濟理論模型中,行為人具有理性預期的特質。我們假設他們有。所以問題在於,怎麼justify這個假設。(抱歉我詞窮了......)

我們繼續上面那個例子。今天如果只跑到第七天,你可能會覺得理性預期的假設還是太強了,為什麼非得猜「7」不可呢?那麼如果跑到第七十天呢?這個模式仍然持續,你會不會更傾向支持理性預期?跑到七百天?七千天?七萬天?無限期遠的那一天?

注意如果跑到七萬天都同一個模式,理性的人不可能會猜 Yt = t + Xt,而是會猜 Yt = t 。後者顯然才是正確的「分配」。

經濟學乃至於統計學,我們常常在談「極限」。這個極限,就是數學上的極限,同一件事情。理性預期告訴我們的是,當我們把行為人放入一個隨機環境,長期而言,他將學會理性預期,因為他能透過觀察而學習到隨機變數的分配性質,進而不斷地修正他的預期直到他的預期完全符合隨機變數的分配為止。

這裡的分配指的是model distribution,是模型所設定的分配。

上面的長期而言,用經濟學的字眼叫作"in the long-run",用數學上的字眼叫作"in the limit"。它們其實在講同一件事情。這是為什麼傳統凱因斯學派的學者喜歡用

「長期而言我們都死了。("In the long-run we all die.")」

這句話來消遣古典學派的學者。這其實是一個數學上的玩笑!

所以,在建構理論模型的時候,我們假設行為人理性預期,等同於假設行為人對於未知的隨機變數都了解其分配。注意當我在談經濟學的理論模型,我在談的其實是一種數學模型,因此我們才會需要經過方才那些探討來將理性預期轉換為數學的語言。為什麼理性的人會理解未知隨機變數的分配?理由正如上述。

理性預期,不代表不會犯錯。
但理性預期者不會犯系統性錯誤:他們不會愚笨地一犯再犯。
理性預期者會犯下的錯誤,來自於隨機環境的本質:未知,或者所謂的風險。

2 comment(s):

Anonymous | 25 January, 2010 15:43

"In the long-run we all die."
這句精警啊!!

喔,順帶一說,1和0的機率反了。(1和0……會想到糟糕事物的只有我一個嗎?)

葉子

EverDark | 25 January, 2010 19:51

你指的是Bernoulli分配的參數設定嗎?這應該只是notation習慣的問題。我習慣以X~Bernoulli(p)中的母數p為隨機X實現為一的機率~

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