有夢最美?

所謂的「期望值」,就是各事件量化結果與其機率分配的乘積合。
我要說的是,「期望值」是不能完全左右人們的思維的!

所以才會產生像下圖示意的行為:

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身為鑽研經濟學的小小一名爆肝研究生,不得不為自己的這種購買彩券的行為進行一番合理化。「樂透彩券的期望報酬是負數啊,根本不應該買!」大家覺得這個說法中不中肯呀?當然不中肯嘛!不然我怎麼可能會買呢?(羞)
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咳,我是認真的。

期望值是人們進行決策的,很直覺會仰賴的資訊。但不是唯一有用的資訊。在一個不確定性的世界裡,我們通常去關心一件「可能發生」的事情時,起碼會從兩個面相去思考:

第一,均數;
第二,變異數。

大體、白話而言,一個隨機變數(某個事件的各種可能)之機率分配,其第一動差稱為均數,衡量的是平均水準;第二個動差則是變異數,衡量的是平均而言的差距程度。在財務的領域,當我們在談「風險」的時候,最關注的就是第二動差。不,甚至大多數的理論模型直接將(比方說投資報酬的)變異數視為「風險」的代理指標(proxy),變異數大就是風險高。

但請注意,這種作法有一個弔詭的地方在於,當分配是對稱(比方說大家最熟悉的Gaussian distribution,俗稱常態分配)的時後,變異數在講的是平均而言資料的離散程度,但我們都知道的是,「報酬」這種東西大家在乎的風險指的是「虧錢的風險」,也就是虧錢可能性的離散程度。所以說,大家真正害怕的是一個「negatively truncated distribution」(一個分配代表損失的那一部分)的模樣,而不是整體報酬的分配離散程度。財務理論指出,由於通常會假設人都是風險趨避(risk-averse),為了讓投資人承擔風險,就必須給予額外的補償,稱其為風險貼水(risk premium)。

現在讓我們回到「樂透」的議題上。

這位覺得購買樂透是否存在風險呢?我們可以將樂透的各個獎項視為一個隨機變數的實現值,其中獎機率皆被明確定義,因此我們能夠輕易地計算出這個隨機變數的第二動差,也就是變異數。但這個變異數在談的是什麼呢?它在談的是我們各種可能「收益」的離散程度。

購買樂透不存在真正的風險。所有的支出(想的話你也可以說成是損失)都已經事前確認給付,沒有任何事後可能的支出。一但買了樂透之後,人們面對的不確定性世界,是一個「positively truncated distribution」。這個時候,變異越大反而有可能越令人為之嚮往。什麼是「一夕致富」?就是在談這件事情。

樂透彩獎金的變異程度高到足以讓人忽略其第一動差是小於零的事實。意思是,對於一個決定購買彩券的人,影響他決策的主要因子是「變異」而非均數。

「你會花非常小的一筆錢,享受一個幾乎不可能--但不是不可能--的財富正向的巨大變異。」

這才是樂透彩其結構設計的可怕之處。樂透彩毫無疑問是一種賭博,而非投資。但這種賭博是一場「損失確定、利得不確定」的環境。只要可以控制損失(也就是購買成本)與利得(也就是獎金額度)的比率夠懸殊,讓利得的離散程度夠誇張,就能讓人理性地選擇下注。

「期望值」?那原本就不是我們唯一會關注的事情。

呃,說了這麼多,不知道大家有沒有被我給唬住哩?(゚Д゚≡゚д゚)
雖然上面的說法我自認為make sense,不過其實我這次之所以會下注,完完全全只是因為老子他媽的心情好啦!什麼動差不動差的,聽你在放屁!

(/- -)/ ~ _|____|_


哇哈哈哈哈哈。

不過那都是開獎之前的事情了。


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「樂透彩券的期望報酬是負數啊,根本不應該買!」

你說哩?




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以下為小小的追記:

關於一些數學上的用語,本文並未求精確定義,比方說「隨機變數(random variable)」,它並不是一個不確定性事件的本身,而是一個把樣本空間的元素對應到實數空間的mapping。不過我想這不是本文的重點,也請大家別太深入。其他的terminology同理。


2 comment(s):

titan | 10 June, 2009 01:36

啊不是說要準備考試?~=.=
話說,你買了四張共21種號碼,只中兩個喔?(噗哧)

EverDark | 10 June, 2009 15:23

如果把特別號也算進去的話就不只有兩個了喔!(挺)
準備考試就是「準備要去考試」了啊。(嗯?)

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